Le funzioni

“Ei fratellino! Come è andata oggi a scuola?”

“Ciao! Benissimo, la maestra mi ha messo ottimo a geografia, le ho detto tutte le capitali europee!”

“Grande, complimenti.”

“Ma cosa sono tutti questi ovali che stai disegnando? Pensavo che al liceo si facessero cose più serie.”

“Ma è una cosa seria, questi ovali sono insiemi e rappresentano delle funzioni. Le funzioni hanno un ruolo molto importante all’interno della matematica. Infatti descrivono in modo preciso la dipendenza tra due variabili.

”Ma quindi che cosa sono esattamente queste funzioni? E che c’entrano gli ovali?”

“C’entrano perché le funzioni si studiano spesso come relazione tra due insiemi. Facciamo un esempio più concreto. Visto che sei tanto bravo usiamo le capitali. Ogni paese europeo possiede una città come capitale. Prendiamo un gruppo di quattro paesi e inseriamoli in un insieme A: Francia, Italia… Germania e Spagna. Consideriamo poi un insieme B di tutte le capitali dei paesi scelti. Sai dirmele?”

“Si! In Francia c’è Parigi, in Italia Roma, la capitale della Germania è Berlino e quella della Spagna… Lisbona?”

“No! Lisbona sta in Portogallo, la capitale della Spagna è Madrid. Sei stato bravo comunque. Adesso, come sappiamo e come possiamo vedere dal disegno che abbiamo fatto…”

“Dagli ovali!”

“Si esatto, dagli ovali e dalle frecce vediamo che a ogni paese di A corrisponde una e una sola capitale dell’insieme B. Questa è una funzione.”

“Wow, sembra interessante.”

“Lo è. In particolare l’insieme A, quello di partenza, ovvero nel nostro caso i Paesi Europei, si definisce come dominio, mentre tutti gli elementi di arrivo, quindi le capitali, formano il codominio. Questi elementi dell’insieme B sono chiamate immagini. Quindi per fare un esempio Parigi è immagine della Francia, Roma è immagine dell’Italia, e così via.”

“Quindi oggi la maestra quando mi chiedeva una capitale mi stava chiedendo l’immagine dell’insieme dei paesi?”

“Si, diciamo di sì. Quindi ricapitolando una funzione è una relazione tra due insiemi, che associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio”

“Capito. Ma queste funzioni sono tutte uguali?”

“Ottima domanda! No, in realtà no però possiamo distinguerle in tre tipi. Una funzione è suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Facciamo un esempio. Consideriamo l’insieme A di tutti di tutti gli alunni della tua classe e l’insieme B delle madri dei rispettivi alunni. Non vi potrà essere un elemento di B, quindi una madre, a cui non corrisponda almeno un elemento di A, ovvero un figlio, alunno della tua classe. Infatti tutti i figli hanno una madre e viceversa. Può però essere che due o più alunni abbiano la stessa madre, essendo fratelli, e quindi che due elementi di A abbiano la stessa immagine in B.

“Ok, questa l’ho capita, poi?”

“Poi invece possono esserci le funzioni iniettive, se ogni elemento di B è immagine al massimo di un elemento di A. Consideriamo sempre l’insieme degli studenti della tua classe e il rispettivo insieme dei numeri d’ordine del registro. A ogni studente, escludendo il caso di due omonimi, corrisponderà soltanto un numero nel registro e due studenti diversi non potranno avere lo stesso.”

“Certo ho capito, al mio nome e cognome può essere associato soltanto il mio numero dell’appello.”

“Esattamente. Infine abbiamo le funzioni biunivoche, che sono contemporaneamente suriettive che iniettive: ne è un esempio la relazione di prima tra i Paesi europei e la loro capitale. Le funzioni biunivoche sono importanti perché ci permettono di passare all’inversa: ovvero la funzione che dall’insieme B associa gli elementi di A. Quindi è come se invece di passare dal Paese europeo alla sua capitale facessimo, appunto, l’inverso associando a ogni capitale il rispettivo paese europeo, vedi come ho disegnato qui.”

“Come se la maestra mi dicesse prima la città e poi io le dovrei dire il paese?”

“Esattamente!”

“Wow, mi affascina come argomento.”

“Eh già, in matematica si usano molto. Ovviamente si utilizzano degli insiemi numerici, diversi da quelli che abbiamo usato noi, e sono molto importanti proprio perché descrivono la legge che lega due insiemi, o meglio due variabili.”

“Adesso stai diventando troppo complicato, però mi è piaciuto molto, quando le studierò non penso avrò problemi! Grazie mille fratellone.”

Leonardo Federici